Informationen zur Vorlesung "Erweiterung der Analysis" (WS 2025/26)

Dozent: Dr. Ernst August v. Hammerstein

Assistent: N.N.

Termin: Mi 8-10, HS Weismann-Haus, Albertstraße 21a

Übungen: 2-stündig n.V.

ETCS: 5 Punkte

Sprache: Deutsch

Inhalte

Diese Pflichtvorlesung für Lehramtsstudierende im M.Ed. baut auf den Grundvorlesungen Analysis I und II auf und ergänzt bzw. vertieft diese in den folgenden zwei Schwerpunktthemen:

Mehrdimensionale Integration: Das aus der Vorlesung Analysis I bekannte eindimensionale Riemann-Integral wird auf reellwertige Funktionen mehrerer Variabler verallgemeinert, wofür zunächst mit dem Jordan-Inhalt ein geeignetes Instrument zum Messen des Inhalts/Volumens mehrdimensionaler Mengen eingeführt wird. Danach werden die klassischen Integralsätze (Transformationssatz, Satz von Fubini) hergeleitet und Kurven- und Oberflächenintegrale betrachtet. Mithilfe der Divergenz und Rotation von Vektorfeldern lassen sich die beiden vorgenannten Integralarten durch die Integralsätze von Gauß und Stokes zueinander in Beziehung setzen, was die Berechnungen in praktischen Anwendungen erheblich vereinfacht.

Funktionentheorie: Diese untersucht im Gegensatz zu Analysis I die (komplexe) Differenzierbarkeit von Funktionen einer komplexen Variablen. Komplex differenzierbare, sog. holomorphe Funktionen unterliegen, wie sich zeigen wird, viel strengeren Regeln und Gesetzesmäßigkeiten als im Reellen, was zu ebenso schönen wie überraschenden Ergebnissen führt. Wir werden hierzu den Cauchyschen Intergalsatz und die Cauchysche Integralformel beweisen und einige Anwendungen und Folgerungen aus diesen näher betrachten.

Aktuelles

• Alle Vorlesungsmaterialien (Übungsblätter sowie das fortlaufend ergänzte Vorlesungsskript) werden über die Lernplattform ILIAS zur verfügung gestellt.
  Um dem ILIAS-Kurs beizutreten, melden Sie sich bitte in HISinOne zur Vorlesung (nicht den Übungen) an, dann werden Sie automatisch (innerhalb eines Tages) auch als Kursmitglied in den ILIAS-Kurs eingetragen.

Studien- und Prüfungsleistung

Die Studienleistung besteht in der aktiven Teilnahme an den vorlesungsbegleitenden Übungen. Konkret wird sie denjenigen Studierenden zuerkannt, die

• mindestens einmal eine Übungsaufgabe im Tutorat an der Tafel vorgerechnet haben,
• und mindestens 50% der maximal erreichbaren Punkte aus den Übungsaufgaben erhalten haben. Dabei müssen abgegebene Übungsaufgaben auf Aufforderung durch den Tutor hin an der Tafel präsentiert werden können.
   

Bitte beachten Sie, dass Sie sich separat sowohl für die Studien- als auch für die Prüfungsleistung in HISinOne anmelden müssen! Die dazu geltenden An- und Abmeldefristen finden Sie auf der folgenden Webseite.

Übungsgruppen und Übungsblätter

Vorlesungsbegleitend wird es zwei Übungsgruppen geben, für die aktuell die folgenden Termine vorgesehen sind:

Gruppe 1: Mo 12-14 Uhr, SR 125/126, Ernst-Zermelo-Str. 1

Gruppe 2: Fr 8-10 Uhr, SR 127/128, Ernst-Zermelo-Str.1

Sollte es bei vielen Vorlesungsteilnehmenden mit beiden Terminen zu Kollisionen mit anderen Lehrveranstaltungen kommen, kann ggf. für eine Gruppe  noch ein passender Alternativtermin angeboten werden.

Übungsblätter sowie das (fortlaufend ergänzte) Vorlesungsskript werden auf ILIAS zur Verfügung gestellt; zum Kursbeitritt melden Sie sich bitte in HISinOne zur Vorlesung an.

Neue Übungsblätter werden jede Woche mittwochs nach der Vorlesung auf ILIAS veröffentlicht. Die Lösungen sind jeweils bis spätestens zum Mittwochmittag der Folgewoche in elektronischer Form (pdf-Datei) über ILIAS abzugeben

In der zweiten Semesterwoche werden Anwesenheitsaufgaben in den Übungen gerechnet und besprochen werden.

Die Abgabe von Lösungen zu den Übungsaufgaben in Zweiergruppen ist zulässig. Alle Studierenden (bei Gruppenabgabe also beide Abgabepartnerinnen bzw. -partner) müssen in der Lage sein, die von ihnen abgegebenen Lösungen auf Bitte des Tutors hin frei an der Tafel vorzurechnen.

Literatur

Zum Inhalt der Vorlesung gibt es zahlreiche empfehlenswerte Lehrbücher, die untenstehende kurze Liste kann daher keinen Anspruch auf Vollständigkeit erheben, sondern nur einen ersten Überblick geben:

• H. Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2 (14. Auflage), Vieweg+Teubner, 2008.
• K. Königsberger: Analysis 2 (5. Auflage), Springer, 2004.
• K. Jänich: Funktionentheorie. Eine Einführung (6. Auflage), Springer, 2004.
• R. Remmert, G. Schumacher: Funktionentheorie 1 (5. Auflage), Springer, 2002.

Notwendige Vorkenntnisse

Analysis I-II sowie Lineare Algebra I-II

Verwendbarkeit

Pflichtmodul Erweiterung der Analysis (MEd18, MEH21, MEdual24)

Sprechstunde

Sprechstunde Dozent: Do 10-11 Uhr
Bei kurzen Fragen können Sie alternativ auch eine E-mail schreiben an ernst.august.hammerstein@stochastik.uni-freiburg.de