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Informationen zum Seminar Stochastik auf Mannigfaltigkeiten (WS 2017/18)

 Allgemeines

Inhalt

  • Wir werden uns mit der Beschreibung von stochastischen Prozessen auf Mannigfaltigkeiten mit Hilfe von stochastischen Differentialgleichungen, Martingalproblemen und Markovschen Halbgruppen beschäftigen. Dies ist ein fortgeschrittenes, jedoch gut verstandenes Thema.
  • Die geometrische Sichtweise ermöglicht ein vertieftes Verständnis der Theorie stochastischer Prozesse (Invarianzresultate, asymptotische Entwickungen der Dichte, etc.).
  • Umgekehrt ermöglichen stochastische Methoden neue Sichtweisen auf  geometrische Fragestellungen (stochastische Darstellung von Lösungen partieller Differentialgleichungen und von geometrischen Flüssen, Transportprobleme, Indexsatz von Atiyah-Singer, etc.).
  • Je nach Zeit und Interesse werden wir auf einige Anwendungen eingehen (Asymptotik von Optionspreisen, Existenz endlichdimensionaler Realisierungen von Zinsmodellen, Stochastik auf Räumen von geometrischen Figuren und weitere Themen nach Wahl).

Vorkenntnisse

  • Notwendige Vorkenntnisse: Kenntnisse im Rahmen der Vorlesung Stochastische Prozesse
  • Nützliche Vorkenntnisse: Kenntnisse im Rahmen der Vorlesung Elementare Differentialgeometrie

Aktuelles

  • Donnerstag 19. Oktober 16:15 Uhr: Vorbesprechung mit Themenvergabe und Einführung. 
  • Donnerstag 16. November 13:00-16:00 Uhr: Definitionen und Konstruktion von Brownscher Bewegung; stochastische Integration bzgl. Brownscher Bewegung
  • Donnerstag 7. Dezember 13:00-16:00 Uhr: Semimartingale, Ito Formel, Stratonovich-Integral, stochastische Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten
  • Donnerstag 25. Januar 13:00-16:00: Martingalprobleme auf Mannigfaltigkeiten, stochastische Differentialgleichungen mit Hilfe von Jets

Literatur

  • E. P. Hsu (2002), Stochastic Analysis on Manifolds. American Mathematical Society, Providence, RI.
  • D. W. Stroock (2000), An introduction to the analysis of Paths on a Riemannian Manifold. American Mathematical Society, Providence, RI.
  • W. Hackenbroch and A. Thalmaier (1994), Stochastische Analysis. B. G. Teubner, Stuttgart.
  • J. Teichmann (2017), Foundations of Martingale Theory and Stochastic Calculus from a Finance Perspective. Lecture Notes, ETH Zurich, pdf
  • J. Armstrong, D. Brigo (2017), Coordinate-free Stochastic Differential Equations as Jets. arXiv:1602.03931v5
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